1 1
1

Механические колебания

Гармонические колебания. Параметры колебаний.

Если рассмотреть равномерное движение точки  по окружности  в проекции на ось s (вид сбоку), то движение точки  будет колебательным около положение равновесия.
s = R·sin?=
=smsin (?t+)      ?=?t.+  - фаза колебаний
.При  ? =  - радиус окружности S0  равен Sm – амплитуде колебаний. Проекция радиуса-вектора S0  на ось s равна смещению при колебании. Период вращения равен периоду колебаний, а  линейная скорость вращения Vвр равна скорости колебаний  Vm(? = 0).
Циклическая частота колебаний эквивалентна угловой скорости вращения. 
Колебания, смещение при которых изменяется по закону синуса или косинуса ,называются гармоническими .  График – синусоида.. Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению
F(t) = ma(t) = –m?2s(t).     
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
Решением этого уравнения является функция s = sm cos (?t + ?0).
Максимальное отклонение от положения равновесия называется амплитудой колебаний. Время одного колебания называется периодом . Количество колебаний за 1 секунду называется частотой , единица измерения которой 1 Гц (Герц).  Циклическая частота  ,  - начальная фаза.
  - фаза колебаний
На рис.  приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

1.Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.
F(t) = ma(t) = –m?2x(t).        (1)
 В этом соотношении ? – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука
Fупр = –kx. (2)    Из (1) и (2) следует   для пружинного маятника , что собственная частота        

2. Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити. При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол ? появляется касательная составляющая силы тяжести F? = –mg sin ? . Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника

Для малых колебаний можно считать, что   
Возвращающая сила    и, принимая во внимание (1),  получим
 тогда собственная частота колебаний математического маятника
        Период колебаний         

 

3.   Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол ? возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:
M = –(mg sin ?)d.
Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.


В случае малых колебаний M = –mgd?. и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид


I? = M = –mgd?.

где ? – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:


Здесь ?0 – собственная частота малых колебаний физического маятника.
Следовательно,


 

Вынужденные и затухающие колебания

  1. Колебания, которые происходят при  действия сил сопротивления с уменьшающей амплитудой, называются затухающими. Полная энергия системы уменьшается на величину работы силы сопротивления (трения). Чем больше сила сопротивления, тем  быстрее затухает колебательный процесс.


Если сила сопротивления велика, то колебательный процесс не возникает. Такой процесс называют апериодическим.

2. Вынужденные колебания – колебания под действием внешней силы. Эти колебания происходят с частотой вынуждающей внешней силы. Явление увеличения амплитуды колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы называется  резонансом.

3. Автоколебания – это колебания , которые происходят за счет энергии , источник которой находится внутри системы.