1 1
1

Законы Кирхгофа

Методы расчета электрических цепей с помощью законов Ома в принципе позволяют рассчитывать любые цепи, но для разветвленных цепей  они достаточно громоздки. Однако они позволяют сформулировать более изящные методы расчета разветвленных цепей, носящих название законов Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна пулю.  Считаем, что ток, текущий к узлу, имеет один знак, а ток, текущий от узла, - другой знак. Первый закон вытекает из закона сохранения электрического заряда для узла: сумма втекающих в узел зарядов в единицу времени равна сумме вытекающих зарядов. Закон сохранения заряда для узла выполняется, так как заряды в нем не накапливаются и не исчезают.
Чтобы сформулировать второй закон, рассмотрим в разветвленной цепи какой-нибудь замкнутый контур, как указано на рисунке, являющийся частью какой-либо электрической схемы. Пунктиром на рисунке указаны внешние по отношению к выбранному замкнутому контуру участки цепи. Через сопротивления R1, R2и т.д. обозначены суммарное сопротивление
проводников каждой ветви, включая внутреннее сопротивление батареи, входящие в ветвь, т.е. батареи 1, 2 и т.д. считаются идеальными. Задаемся обходом контура, как указано на рисунке, и направлением тока в каждой ветви.  Выбор направления тока в каждой ветви осуществляется произвольно.

Для каждой из ветвей можно написать:

Преобразуем написанные равенства к виду:

и производя сложения левых и правых частей этих равенств, получаем
соотношение:

Рассмотрим отдельно правую часть. Она представляет собой алгебраическую сумму напряжений на сопротивлениях в ветвях. Знак каждого члена определяется направлением обхода контура и направлением тока в ветви. Если направление тока и направление обхода контура совпадают, то знак в сумме положительный, если противоположны, то отрицательный. Рассмотрим левую часть. Она представляет собой алгебраическую сумму э.д.с. в контуре. Если бы в замкнутом контуре не было других  э.д.с., кроме 1и кроме того не было бы других элементов цепи, указанных пунктиром, т.е. электрическая цепь состояла бы из э.д.с. 1и
сопротивлений R1,...,R6, то ток в ней совпадал бы по направлению с обходом  контура.. Аналогично было бы и для  э.д.с. 2А для  э.д.с. 5и 6создаваемые ими токи шли бы против обхода контура. Следовательно, в алгебраической сумме э.д.с. берется со знаком "плюс", если "создаваемый ею ток" совпадает с направлением обхода контура, и со знаком "минус",
если "создаваемый ею ток "противоположен обходу.  Слова "создаваемый ею ток" взяты в кавычки специально, так как в действительности истинные токи создаются действием всех э.д.с. в сложной цепи.
Таким образом, можно сформулировать второй закон Кирхгофа:  в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма э.д.с. в ветвях данного контура равна алгебраической сумме напряжений на всех сопротивлениях, входящих в этот контур.
При составлении уравнения для электрической цепи из "m" ветвей с "n" узлами на основании первого и второго законов Кирхгофа нужно помнить еще следующее правило. Для "n" узлов имеется всего "n—1" независимых уравнений для токов. Т.е. если Вы запишете первый закон для всех "n" узлов, одно из полученных уравнений будет следствием других.. Для правильного решения необходимо выбрать "n—1" уравнение для узловых точек. Выбор замкнутого контура в электрической схеме произволен. Путем различных обходов можно выбрать для "m" ветвей, вообще говоря, "m" уравнений, однако линейно независимых среди них будет лишь m — (n - 1) = m — n + 1 уравнение. Каждый новый контур выбирается так, чтобы он содержал хотя бы одну новую ветвь. Следовательно, и различных замкнутых контуров нужно выбрать m — n + 1. Тогда для неизвестного числа "m" токов в каждом из "m" ветвей получится "m" уравнений.