Главная
Начало темы
Задачи
Помощь

Теорема Гаусса и ее применение


Определение 1. Потоком вектора напряженности наз. величина Ф, равная произведению модуля вектора напряженности на площадь контура S, ограничивающую некоторую площадь, и на косинус угла между вектором напряженности и нормалью (перпендикуляром) к площадке (рис.1).
В случае рассмотрения достаточно малой площадки ?S поток вектора напряженности можно записать как: ?? = E?S cos ? = En?S

 


Определение 2. Телесный (конический) угол – это отношение площади поверхности шарового сегмента к квадрату радиуса.

Вывод теоремы Гаусса.
В центр шара (рис.2) помещаем точечный заряд q, который создает электрическое поле напряженностью

   .

Поток вектора напряженности, пронизывающий элементарную площадку Si будет равен 
 
 

                                  Рис.2                                                       Рис.3

Теорема Гаусса: поток вектора напряженности, пронизывающий любую замкнутую поверхность, равен отношению суммы зарядов, расположенных внутри замкнутой поверхности, к электрической постоянной.
1. Применение теоремы Гаусса для бесконечной равномерно заряженной плоскости.
Плоскость считаем бесконечной, если ее размеры много больше, чем расстояние до точки наблюдения.     q– заряд пластины , S – площадь пластины.
Поверхностная плотность заряда    постоянна во всех точках плоскости.
Для применения теоремы Гаусса замкнутой цилиндрической поверхностью, ось которой перпендикулярна плоскости, пересечем нашу пластину. Если площадь основания цилиндра So, то площадь, которую вырезает цилиндр в пластине, также равна So, на которой расположен заряд
   
Поток вектора напряженности по теореме Гаусса 

Поток вектора напряженности, пронизывающий два основания цилиндра, по определению           
Приравняем значения потока вектора напряженности  
     
Если пластины две и они противоположно заряжены (плоский конденсатор), то напряженность между ними  будет в два раза больше.

2.Применение теоремы Гаусса для заряженной полой сферы.
R- радиус заряженной сферы, q – заряд сферы. Определим напряженность на расстоянии r от центра сферы.

Внутри сферы заряда нет .
Снаружи сферы  при  
поток вектора напряженности, пронизывающий всю поверхность шара, по определению
По теореме Гаусса     

 

 

На следующей интерактивной модели сложной структуры показана зависимость направления напряженности электрического поля от распределения зарядов по поверхности сферы.